IronMike skrev:
Nu är det gjort beräkningar för målet 7 rätt.. Bäst chans för 4 rätt torde om man spred ut sina nummer.
Men ganska simpla beräkningar gör att det är 77,6% chans för ett talpar i varje dragning, t ex 3,4 ..och snitt-differensen mellan varje nummer i övrigt ligger på 4,501. Det är matematiskt korrekta beräkningar, utan att ta hänsyn till tidigare nummer. Det finns mängder av beräkningar för vad som sannolikt skulle ge bättre chanser.
Oj, såg att jag räknat fel.. Här är mer korrekta beräkningar:
"Konkret:
Låt oss i stället bli konkreta. För den ovan nämnda Lotto-typen 6/49 studerade värdena (n=49, m=6) får man sannolikheten för att det ska finnas minst ett konsekutivt talpar om man drar 6 tal från intervallet 1..47.
I det symboliska matematisk paketet MuPad (fritt att ladda ner och fritt att använda) uttrycks det på följande sätt.
>> n:=49:m:=6:1- binomial(n-m+1,m) / binomial(n,m);float(%);
22483/45402
0.4951984494
dvs det är cirka 49.5% chans att det finns åtminstone ett talpar. Förvånande mycket, eller hur?
Simulering
Min vana trogen har jag även simulerat detta, och lika troget är det gjort i statistikpaketet R. I simuleringen gjordes 100000 "dragningar" - med sample(1:49, 6) - och sedan räknar man hur många tal som ligger intill varandra. (Som vanligt använder jag den kompakta one-liner-formen för denna typ av simuleringar. En liknande simulering har förklarats lite mer ingående här.)
> sum(sapply(1:100000, function(x) {ddd<-diff(xxx<-sort(sample(1:49,6)));sss<-sum(ddd==1);sum(sss>=1)})/100000)
[1] 0.49559
dvs 49.5%, vilket stämmer hyfsat bra med formeln.
Den svenska Lottoforme(l)n: 7/35
OK, denna typ av Lotto kanske inte är så intressant för oss. Vad med den svenska formen 7/35, dvs där man drar 7 nummer av 35? Först tar vi den teoretiska beräkningen (i MuPad):
>> n:=35:m:=7:1- binomial(n-m+1,m) / binomial(n,m);float(%);
8903/11594
0.7678971882
Dvs det är nästan 76.8% chans att det finns åtminstone ett konsekutivt talpar i de svenska lottoraderna. En simulering av 100000 dragningar ger (nästan) samma resultat 76.6%:
> sum(sapply(1:100000, function(x) {ddd<-diff(xxx<-sort(sample(1:35,7)));sss<-sum(ddd==1);sum(sss>=1)})/100000)
[1] 0.76618"
----
Data för Lotto på formen 7/35 (dock ej svensk)
Det vore ju roligt att se hur 7/35 ser ut i praktiken. Finns det då någon lista över en massa dragningar på det detta "svenska" Lotto-format 7/35? Jepp, det finns det. Mattias Hästbacka har samlat resultaten av Lottoraderna på sin Lotto-sida. Den fullständiga listan finns på Lotto-rader från v40/1980 till v17/2005, dvs nästan 25 år.
Observera att detta inte är Svenska Spels Lottodragningar, utan motsvarande "Finska Spel". Men det spelar egentligen ingen roll för det jag vill komma åt.
Om någon har motsvarande dataanhopning för Svenska Spels Lotto så vore jag mycket intresserad av få tillgång till den. (Maila mig gärna i så fall på
hakank@bonetmail.com".)
Jag har bearbetat datan och i filen lotto_all_just_numbers.txt finns "rena" rader utan någon annan information, förutom en tillbörlig källhänvisning till Mattias Hästbackas sajt.
Analys av data
OK, tillbaka till undersökningen. Det finns i Mattias Hästbackas datamängd 957 rader med åtminstone ett konsekutivt talpar av 1283 dragningar, vilket är 957/1283 = 0.746, dvs 74.6%.
Det teoretiska värdet är som vi såg ovan 76.8%, vilket skulle motsvara 1293 * 0.7678971882, dvs ungefär 985 rader. Skillnanden mellan det praktiska värdet (957) och det teoretiska (985) är 985 - 957 = 28, vilket är ett fel på 28/1283, dvs ungefär 2.2% , vilket väl får anses vara rätt hyfsat.
Hur många par blir det i genomsnitt?
Den andra frågan är något annorlunda än Drakakis ursprungliga. Hans utgångspunkt var hur stor sannolikheten är för att det ska bli ett eller flera konsekutiva talpar (dvs åtminstone ett) i en dragning. En annan fråga man kan ställa sig är: hur många konsekutiva talpar det i genomsnitt blir per dragning.
Här är den första dragningen som Mattias Hästbacka sparade (vecka 40 1980):
7, 8, 9, 16, 17, 18, 30
Det finns alltså fyra konsekutiva talpar (7,8), (8, 9), (16, 17) samt (17, 18). Så, frågan är då hur många sådana talpar det blir i genomsnitti per dragning.
En körning på Hästbackas data ger totalt 1429 konsekutiva talpar och på 1283 dragningar blir det 1429/1283 = 1.113796. Dvs för varje dragning blev det igenomsnitt 1.1 konsekutivt talbar.
Äpplen och päron
Men, kan man nu fråga sig, hur rimmar detta 1.2 talpar per dragning med att det finns 76.6% chans för att det blir åtminstone ett konsekutivt talpar per dragning? Borde sannolikheten inte bli 100% istället? Nej, det är två olika saker (olika äpplen och päron).
Konstantinos formel tar inte hänsyn hur många konsekutiva talpar det är utan endast om det är ett eller fler. Dvs det spelade ingen roll för honom om det är 1 sådant par eller 4. Denna senare uträkning tar däremot hänsyn till detta antal. Den andra skillnaden (päronet alltså) är att vi inte räknar med sannolikheter längre utan med det genomsnittliga antalet per dragning.
Fördelning av konsekutiva talpar
En fördelning av antalet konsekutiva talpar i Hästbacka-datan är
0: 325 (0.25)
1: 565 (0.44)
2: 318 (0.25)
3: 69 (0.05)
4: 4 (0.00)
5: 1 (0.00)
Dvs det finns 325 Lotto-rader utan något konsekutivt talpar (cirka 25% av alla dragningar), 565 rader med exakt 1 konsekutivt talpar (~44%) och en rad med 5 par, nämligen den 581:e dragningen (vecka 47 år 1991) som gav följande tal 15 32 33 34 35 36 37.
Låt oss nu för skoj skull simulera detta. Koden som används ser ut så här:
num.talpar = function(num.sims=1283, n=35, m=7) {
# initiera tabellen som kommer att innehåla antalet
# konsekutiva talpar. Det kan vara max m-1 (här 7-1=6) sådana talpar,
# men vi måste även ha med 0, vilket innebär att det blir m stycken
konsek.talpar = rep(0, m)
for (i in 1:num.sims) {
ss = sort(sample(1:n, m))
dd = diff(ss) # differensen mellan talen
tt = sum(dd==1) # hur många konsekutiva talpar finns det
# öka med 1. Not: "tt+1" är för att även få med dragninar som
# inte har något konsekutivt talpar
konsek.talpar[tt+1] = konsek.talpar[tt+1] + 1
}
return(konsek.talpar)
}
Här är en sådan körning som har värden som inte är helt olika de faktiska (dvs Hästbacka-datan). Först antal och sedan fördelningen.
> (ss = num.talpar(1283))
[1] 314 519 353 88 8 0
> round(ss/1283,2)
[1] 0.24 0.40 0.28 0.07 0.01 0.00
För just denna simulering blev det alltså cirka 314 dragningar (cirka 24%, av 1283 rader) utan något konsekutivt talpar alls, 519 dragningar med ett sådant talbar, och hela 8 dragningar med 5 k.t.p (dvs där det finns 6 konsekutiva tal).
Om vi nu brassar på med 100 sådana här simuleringar om vardera 1283 dragningar, dvs 1283*100 = 128300 dragningar (och delar de värden vi får med 100) så får vi något mer exakta värden att jämföra med:
> (ss=num.talpar(1283*100)/100)
[1] 299.31 540.63 339.48 92.53 10.60 0.45 0.00
> round(ss/1283,2)
[1] 0.23 0.42 0.26 0.07 0.01 0.00 0.00
Vi ser alltså att det finns cirka 23% chans att det blir 0 stycken k.t.p., cirka 42% att det blir exakt ett k.t.p. osv.
Den intressanta frågan blir då vad är det (simulerade) genomsnittet konkekutiva par per dragning. I faktisk data blev det cirka 1.1 konsekutivt par per dragning.
sum.talpar = function(num.sims=1283, n=35, m=7) {
antal.talpar = 0
for (i in 1:num.sims) {
ss = sort(sample(1:n, m))
dd = diff(ss) # differensen mellan talen
tt = sum(dd==1) # hur många konsekutiva talpar finns det
antal.talpar = antal.talpar + tt
}
return(antal.talpar)
}
sum.talpar()
Först en enkel körning för att få en känsla för informationen.
> ss = sum.talpar(1283)
[1] 1580
> ss/1283
[1] 1.231489
Och sedan en lite tyngre körning
> sum.talpar(1283*100)/(1283*100)
[1] 1.200514
Dvs det blir cirka 1.2 konsekutiva talpar per dragning. Det är alltså mer än ett par i genomsnitt.
Hur fördelas differenserna av talen?
Ovan har vi endast studerat konsekutiva talpar, dvs tal där differensen är 1. Nen det är även intressant att studera övriga differenser som uppkommit i dragningarna. Det vi ovan kallat för "konsekutiva talpar" är talpar med differensen 1, vilket vi i det följande kallar "1-differens".
I Hästbacka-datan fördelas sig differenserna enligt följande (på formatet differens: antal förekomster). Notera att en dragning nästan alltid har flera olika differenser. T.ex. ovanstående 5-talpars-dragning (15 32 33 34 35 36 37) har fem stycken 1-differenser samt en 17-differens (dvs 32 - 15 = 17).
1: 1429
2: 1184
3: 939
4: 790
5: 683
6: 585
7: 447
8: 345
9: 283
10: 231
11: 207
12: 126
13: 108
14: 99
15: 66
16: 48
17: 44
18: 17
19: 22
20: 11
21: 16
22: 2
23: 5
24: 2
25: 3
Man kan här se att det är flest 1-differenser, sedan blir det ständigt färre och färre.
OK, för fullständighets skull så simulerar vi även detta. Koden är rätt lik den föregående.
diff.table.sim = function(num.sims=1283, n=35, m=7) {
diff.table = rep(0, n)
for (i in 1:num.sims) {
ss = sort(sample(1:n, m))
dd = diff(ss) # differensen mellan talen
# lägg in respektive differens i tabellen
for (d in dd) {
diff.table[d] = diff.table[d] + 1
}
}
return(diff.table)
}
Det vi söker är alltså det genomsnittliga antalet differens per dragning, så vi simulerar 100000 dragningar.
> cbind(diff.table.sim(100000)/100000)
[,1]
[1,] 1.19969
[2,] 0.98629
[3,] 0.80547
[4,] 0.65678
[5,] 0.52912
[6,] 0.42424
[7,] 0.33684
[8,] 0.26439
[9,] 0.20978
[10,] 0.15981
[11,] 0.12235
[12,] 0.09001
[13,] 0.06614
[14,] 0.04662
[15,] 0.03512
[16,] 0.02358
[17,] 0.01583
[18,] 0.01097
[19,] 0.00734
[20,] 0.00406
[21,] 0.00281
[22,] 0.00149
[23,] 0.00073
[24,] 0.00033
[25,] 0.00013
[26,] 0.00006
[27,] 0.00002
[28,] 0.00000
[29,] 0.00000
[30,] 0.00000
[31,] 0.00000
[32,] 0.00000
[33,] 0.00000
[34,] 0.00000
[35,] 0.00000
Varvid vi kan se att det är i genomsnitt (nästan) 1.2 stycken 1-differenser (dvs det vi ovan kallade konsekutiva talpar) per dragning, i genomsnitt 0.99 2-differens per rad osv.
Genomsnittlig antal differenser
Det genomsnittliga antalet differenser är cirka 4.53 enligt följande simulering. Här delas summan av differensvärdena med det totala antalet uppkomna differenser. (Man kan trixa med föregående värden, men jag vill ha lite kontroll över saker och ting.)
diffs = function(num.sims=1283, n=35, m=7) {
diffs = 0
num.diffs = 0
for (i in 1:num.sims) {
ss = sort(sample(1:n, m))
dd = diff(ss)
for (d in dd) {
diffs = diffs + d
num.diffs = num.diffs + 1
}
}
m = diffs/num.diffs # genomsnittligt antal
return(c(diffs, num.diffs, m))
}
Och så körningen, där vi endast är intresserade av det sista värdet:
> round(diffs(1283*100),3)
[1] 3465204.000 769800.000 4.501
Vilket alltså ger det genomsnittliga differensvärdet 4.501. Äh, vi säger 4.5.
Sammanfattning
Här ovan har vi kommit fram till bl.a. följande:
* Sannolikheten att det ska förekomma åtminstone ett konsekutivt talpar i en 7/35-dragning är cirka 77%
* Det blir i genomsnitt 1.2 konsekutiva talpar per dragning.
* Det genomsnittliga differensvärdet för en dragning är 4.5.
Som antytts så anser i alla fall jag att det är förvånande.
Upprinnelse (inspiration)
Upprinnelsen till allt detta var notisen Consecutive pairs in winning lottery numbers hos MathForge.
Se även
Se även min genomgång av födelseparadoxen,tillika med R-kod, i Sammanträffanden - anteckningar vid läsning av Diaconis och Mosteller 'Methods for Studying Coincidences'.
Jämför även med den simulering som gjordes för ett liknande problem (6/49-Lotto) i Lite om resampling, simulering, sannolikhetsproblem etc.. Sök efter "Litet problem i (engelsk) Lotto". (Det koms dock inte fram till exakt samma sak.)
Samt överhuvudtaget Simulation, probability theory etc, såsom Trisssimuleringen (Java applet).
Posted by hakank at 03:37 EM Posted to Matematik | Statistik/data-analys | Comments (5)
juli 23, 2005
Annals of Improbable Research: Namntal (Name Number) för en profession
